解 x、y
x=6
y=7
圖表
共享
已復制到剪貼板
3x+2y=32,-x+3y=15
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x+2y=32
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=-2y+32
從方程式兩邊減去 2y。
x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)
將兩邊同時除以 3。
x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}
\frac{1}{3} 乘上 -2y+32。
-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15
在另一個方程式 -x+3y=15 中以 \frac{-2y+32}{3} 代入 x在方程式。
\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15
-1 乘上 \frac{-2y+32}{3}。
\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15
將 \frac{2y}{3} 加到 3y。
\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}
將 \frac{32}{3} 加到方程式的兩邊。
y=7
對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}
在 x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-14+32}{3}
-\frac{2}{3} 乘上 7。
x=6
將 \frac{32}{3} 與 -\frac{14}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=6,y=7
現已成功解出系統。
3x+2y=32,-x+3y=15
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
計算。
x=6,y=7
解出矩陣元素 x 和 y。
3x+2y=32,-x+3y=15
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15
讓 3x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
-3x-2y=-32,-3x+9y=45
化簡。
-3x+3x-2y-9y=-32-45
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x-2y=-32 減去 -3x+9y=45。
-2y-9y=-32-45
將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-11y=-32-45
將 -2y 加到 -9y。
-11y=-77
將 -32 加到 -45。
y=7
將兩邊同時除以 -11。
-x+3\times 7=15
在 -x+3y=15 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-x+21=15
3 乘上 7。
-x=-6
從方程式兩邊減去 21。
x=6
將兩邊同時除以 -1。
x=6,y=7
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}