解決{l}{3x+2y=3}{x-y=21} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 3 } \\ { x - y = 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=-12$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=3,x-y=21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=3$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y+3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+3\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y+3。

$$x=-\frac{2}{3}y+1$$

在另一個方程式 x-y=21 中以 -\frac{2y}{3}+1 代入 x在方程式。

$$-\frac{2}{3}y+1-y=21$$

將 -\frac{2y}{3} 加到 -y。

$$-\frac{5}{3}y+1=21$$

從方程式兩邊減去 1。

$$-\frac{5}{3}y=20$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-12$$

在 x=-\frac{2}{3}y+1 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{3}\left(-12\right)+1$$

-\frac{2}{3} 乘上 -12。

$$x=8+1$$

將 1 加到 8。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=-12$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=3,x-y=21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{2}{5}\times 21\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{3}{5}\times 21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=-12$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=3,x-y=21$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x+2y=3,3x+3\left(-1\right)y=3\times 21$$

化簡。

$$3x+2y=3,3x-3y=63$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+2y=3 減去 3x-3y=63。

$$3x-3x+2y+3y=3-63$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y+3y=3-63$$

將 2y 加到 3y。

$$5y=3-63$$

將 3 加到 -63。

$$5y=-60$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-12$$

在 x-y=21 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-\left(-12\right)=21$$

從方程式兩邊減去 12。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=-12$$