解決{l}{3x+2y=12}{4x-y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=12$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y+12$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y+12。

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

在另一個方程式 4x-y=11 中以 -\frac{2y}{3}+4 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-y=11$$

4 乘上 -\frac{2y}{3}+4。

$$-\frac{8}{3}y+16-y=11$$

將 -\frac{8y}{3} 加到 -y。

$$-\frac{11}{3}y+16=11$$

從方程式兩邊減去 16。

$$-\frac{11}{3}y=-5$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{15}{11}$$

在 x=-\frac{2}{3}y+4 中以 \frac{15}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}+4$$

-\frac{2}{3} 乘上 \frac{15}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{10}{11}+4$$

將 4 加到 -\frac{10}{11}。

$$x=\frac{34}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12+\frac{2}{11}\times 11\\\frac{4}{11}\times 12-\frac{3}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 12,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

化簡。

$$12x+8y=48,12x-3y=33$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+8y=48 減去 12x-3y=33。

$$12x-12x+8y+3y=48-33$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y+3y=48-33$$

將 8y 加到 3y。

$$11y=48-33$$

將 48 加到 -33。

$$11y=15$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=\frac{15}{11}$$

在 4x-y=11 中以 \frac{15}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-\frac{15}{11}=11$$

將 \frac{15}{11} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{136}{11}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{34}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$