解決{l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=-8$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y-8$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y-8。

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

在另一個方程式 -x-2y=12 中以 \frac{-2y-8}{3} 代入 x在方程式。

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

-1 乘上 \frac{-2y-8}{3}。

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

將 \frac{2y}{3} 加到 -2y。

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{3}。

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{4}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-7$$

在 x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3} 中以 -7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

-\frac{2}{3} 乘上 -7。

$$x=\frac{14-8}{3}$$

將 -\frac{8}{3} 與 \frac{14}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

讓 3x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

化簡。

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x-2y=8 減去 -3x-6y=36。

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y+6y=8-36$$

將 -2y 加到 6y。

$$4y=8-36$$

將 8 加到 -36。

$$4y=-28$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-7$$

在 -x-2y=12 中以 -7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

-2 乘上 -7。

$$-x+14=12$$

從方程式兩邊減去 14。

$$-x=-2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-7$$