解決{l}{3x+2y=-10}{2x-10y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 10 } \\ { 2 x - 10 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=-10$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y-10$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-10\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y-10。

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 2x-10y=-1 中以 \frac{-2y-10}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-10y=-1$$

2 乘上 \frac{-2y-10}{3}。

$$-\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}-10y=-1$$

將 -\frac{4y}{3} 加到 -10y。

$$-\frac{34}{3}y-\frac{20}{3}=-1$$

將 \frac{20}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{34}{3}y=\frac{17}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{34}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{1}{2}$$

在 x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3} 中以 -\frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{10}{3}$$

-\frac{2}{3} 乘上 -\frac{1}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{1-10}{3}$$

將 -\frac{10}{3} 與 \frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-10\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-10\right)+\frac{1}{17}\left(-1\right)\\\frac{1}{17}\left(-10\right)-\frac{3}{34}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-10\right),3\times 2x+3\left(-10\right)y=3\left(-1\right)$$

化簡。

$$6x+4y=-20,6x-30y=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+4y=-20 減去 6x-30y=-3。

$$6x-6x+4y+30y=-20+3$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+30y=-20+3$$

將 4y 加到 30y。

$$34y=-20+3$$

將 -20 加到 3。

$$34y=-17$$

將兩邊同時除以 34。

$$y=-\frac{1}{2}$$

在 2x-10y=-1 中以 -\frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-10\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

-10 乘上 -\frac{1}{2}。

$$2x+5=-1$$

從方程式兩邊減去 5。

$$2x=-6$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$