解決{l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+10y=11$$

從方程式兩邊減去 10y。

$$3x=-10y+11$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -10y+11。

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

在另一個方程式 -10x-8y=14 中以 \frac{-10y+11}{3} 代入 x在方程式。

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

-10 乘上 \frac{-10y+11}{3}。

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

將 \frac{100y}{3} 加到 -8y。

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

將 \frac{110}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{76}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

-\frac{10}{3} 乘上 2。

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

將 \frac{11}{3} 與 -\frac{20}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

讓 3x 和 -10x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

化簡。

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -30x-100y=-110 減去 -30x-24y=42。

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

將 -30x 加到 30x。 -30x 和 30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-100y+24y=-110-42$$

將 -100y 加到 24y。

$$-76y=-110-42$$

將 -110 加到 -42。

$$-76y=-152$$

將兩邊同時除以 -76。

$$y=2$$

在 -10x-8y=14 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-10x-8\times 2=14$$

-8 乘上 2。

$$-10x-16=14$$

將 16 加到方程式的兩邊。

$$-10x=30$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$