解決{l}{3w-2z=5}{w+2z=15} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

解 w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 w: 將 w 單獨置於等號的左邊。

$$3w-2z=5$$

將 2z 加到方程式的兩邊。

$$3w=2z+5$$

將兩邊同時除以 3。

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 2z+5。

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

在另一個方程式 w+2z=15 中以 \frac{2z+5}{3} 代入 w在方程式。

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

將 \frac{2z}{3} 加到 2z。

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{3}。

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$z=5$$

在 w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3} 中以 5 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 w。

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3} 乘上 5。

$$w=\frac{10+5}{3}$$

將 \frac{5}{3} 與 \frac{10}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$w=5$$

現已成功解出系統。

$$w=5,z=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 w 和 z。

$$w=5,z=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

讓 3w 和 w 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

化簡。

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3w-2z=5 減去 3w+6z=45。

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

將 3w 加到 -3w。 3w 和 -3w 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2z-6z=5-45$$

將 -2z 加到 -6z。

$$-8z=5-45$$

將 5 加到 -45。

$$-8z=-40$$

將兩邊同時除以 -8。

$$z=5$$

在 w+2z=15 中以 5 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 w。

$$w+2\times 5=15$$

2 乘上 5。

$$w+10=15$$

從方程式兩邊減去 10。

$$w=5$$

現已成功解出系統。

$$w=5,z=5$$