解決{l}{3u+z=15}{u+2z=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

解 u、z

$$z=3$$

$$u=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3u+z=15,u+2z=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 u: 將 u 單獨置於等號的左邊。

$$3u+z=15$$

從方程式兩邊減去 z。

$$3u=-z+15$$

將兩邊同時除以 3。

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -z+15。

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

在另一個方程式 u+2z=10 中以 -\frac{z}{3}+5 代入 u在方程式。

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

將 -\frac{z}{3} 加到 2z。

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

從方程式兩邊減去 5。

$$\frac{5}{3}z=5$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$z=3$$

在 u=-\frac{1}{3}z+5 中以 3 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

-\frac{1}{3} 乘上 3。

$$u=-1+5$$

將 5 加到 -1。

$$u=4$$

現已成功解出系統。

$$u=4,z=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3u+z=15,u+2z=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 u 和 z。

$$u=4,z=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3u+z=15,u+2z=10$$

讓 3u 和 u 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

化簡。

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3u+z=15 減去 3u+6z=30。

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

將 3u 加到 -3u。 3u 和 -3u 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$z-6z=15-30$$

將 z 加到 -6z。

$$-5z=15-30$$

將 15 加到 -30。

$$-5z=-15$$

將兩邊同時除以 -5。

$$z=3$$

在 u+2z=10 中以 3 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$u+2\times 3=10$$

2 乘上 3。

$$u+6=10$$

從方程式兩邊減去 6。

$$u=4$$

現已成功解出系統。

$$u=4,z=3$$