解決{l}{3u+5x=8}{5u+5x=14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

解 u、x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 u: 將 u 單獨置於等號的左邊。

$$3u+5x=8$$

從方程式兩邊減去 5x。

$$3u=-5x+8$$

將兩邊同時除以 3。

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5x+8。

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

在另一個方程式 5u+5x=14 中以 \frac{-5x+8}{3} 代入 u在方程式。

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

5 乘上 \frac{-5x+8}{3}。

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

將 -\frac{25x}{3} 加到 5x。

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

從方程式兩邊減去 \frac{40}{3}。

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{10}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-\frac{1}{5}$$

在 u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3} 中以 -\frac{1}{5} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 -\frac{1}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$u=\frac{1+8}{3}$$

將 \frac{8}{3} 與 \frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$u=3$$

現已成功解出系統。

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 u 和 x。

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3u+5x=8 減去 5u+5x=14。

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3u-5u=8-14$$

將 3u 加到 -5u。

$$-2u=8-14$$

將 8 加到 -14。

$$-2u=-6$$

將兩邊同時除以 -2。

$$u=3$$

在 5u+5x=14 中以 3 代入 u。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5\times 3+5x=14$$

5 乘上 3。

$$15+5x=14$$

從方程式兩邊減去 15。

$$5x=-1$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-\frac{1}{5}$$

現已成功解出系統。

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$