解決{l}{3t-2u=7}{9t-5u=18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 t - 2 u = 7 } \\ { 9 t - 5 u = 18 } \end{array} \right.$$

解 t, u

$$t=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$u=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 t: 將 t 單獨置於等號的左邊。

$$3t-2u=7$$

將 2u 加到方程式的兩邊。

$$3t=2u+7$$

將兩邊同時除以 3。

$$t=\frac{1}{3}\left(2u+7\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 2u+7。

$$t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}$$

在另一個方程式 9t-5u=18 中以 \frac{2u+7}{3} 代入 t在方程式。

$$9\left(\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}\right)-5u=18$$

9 乘上 \frac{2u+7}{3}。

$$6u+21-5u=18$$

將 6u 加到 -5u。

$$u+21=18$$

從方程式兩邊減去 21。

$$u=-3$$

在 t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3} 中以 -3 代入 u。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 t。

$$t=\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{7}{3}$$

\frac{2}{3} 乘上 -3。

$$t=-2+\frac{7}{3}$$

將 \frac{7}{3} 加到 -2。

$$t=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 18\\-3\times 7+18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 t 和 u。

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

讓 3t 和 9t 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$9\times 3t+9\left(-2\right)u=9\times 7,3\times 9t+3\left(-5\right)u=3\times 18$$

化簡。

$$27t-18u=63,27t-15u=54$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 27t-18u=63 減去 27t-15u=54。

$$27t-27t-18u+15u=63-54$$

將 27t 加到 -27t。 27t 和 -27t 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-18u+15u=63-54$$

將 -18u 加到 15u。

$$-3u=63-54$$

將 63 加到 -54。

$$-3u=9$$

將兩邊同時除以 -3。

$$u=-3$$

在 9t-5u=18 中以 -3 代入 u。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 t。

$$9t-5\left(-3\right)=18$$

-5 乘上 -3。

$$9t+15=18$$

從方程式兩邊減去 15。

$$9t=3$$

將兩邊同時除以 9。

$$t=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$