解決{l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

解 c、z

$$z=-3$$

$$c=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 c: 將 c 單獨置於等號的左邊。

$$3c+5z=-15$$

從方程式兩邊減去 5z。

$$3c=-5z-15$$

將兩邊同時除以 3。

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5z-15。

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

在另一個方程式 5c+3z=-9 中以 -\frac{5z}{3}-5 代入 c在方程式。

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

5 乘上 -\frac{5z}{3}-5。

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

將 -\frac{25z}{3} 加到 3z。

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

將 25 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{16}{3}z=16$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{16}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$z=-3$$

在 c=-\frac{5}{3}z-5 中以 -3 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 c。

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

-\frac{5}{3} 乘上 -3。

$$c=5-5$$

將 -5 加到 5。

$$c=0$$

現已成功解出系統。

$$c=0,z=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 c 和 z。

$$c=0,z=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

讓 3c 和 5c 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

化簡。

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15c+25z=-75 減去 15c+9z=-27。

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

將 15c 加到 -15c。 15c 和 -15c 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$25z-9z=-75+27$$

將 25z 加到 -9z。

$$16z=-75+27$$

將 -75 加到 27。

$$16z=-48$$

將兩邊同時除以 16。

$$z=-3$$

在 5c+3z=-9 中以 -3 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 c。

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

3 乘上 -3。

$$5c-9=-9$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$5c=0$$

將兩邊同時除以 5。

$$c=0$$

現已成功解出系統。

$$c=0,z=-3$$