解決{l}{3a+b=9}{a+b=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = 9 } \\ { a + b = 3 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=3$$

$$b=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3a+b=9,a+b=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$3a+b=9$$

從方程式兩邊減去 b。

$$3a=-b+9$$

將兩邊同時除以 3。

$$a=\frac{1}{3}\left(-b+9\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -b+9。

$$a=-\frac{1}{3}b+3$$

在另一個方程式 a+b=3 中以 -\frac{b}{3}+3 代入 a在方程式。

$$-\frac{1}{3}b+3+b=3$$

將 -\frac{b}{3} 加到 b。

$$\frac{2}{3}b+3=3$$

從方程式兩邊減去 3。

$$\frac{2}{3}b=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=0$$

在 a=-\frac{1}{3}b+3 中以 0 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3a+b=9,a+b=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=3,b=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3a+b=9,a+b=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3a+b=9 減去 a+b=3。

$$3a-a+b-b=9-3$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3a-a=9-3$$

將 3a 加到 -a。

$$2a=9-3$$

將 9 加到 -3。

$$2a=6$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=3$$

在 a+b=3 中以 3 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$3+b=3$$

從方程式兩邊減去 3。

$$b=0$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=0$$