解決{l}{3a+b=-3}{2a-b=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$3a+b=-3$$

從方程式兩邊減去 b。

$$3a=-b-3$$

將兩邊同時除以 3。

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -b-3。

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

在另一個方程式 2a-b=-1 中以 -\frac{b}{3}-1 代入 a在方程式。

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

2 乘上 -\frac{b}{3}-1。

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

將 -\frac{2b}{3} 加到 -b。

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{5}{3}b=1$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=-\frac{3}{5}$$

在 a=-\frac{1}{3}b-1 中以 -\frac{3}{5} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

-\frac{1}{3} 乘上 -\frac{3}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$a=\frac{1}{5}-1$$

將 -1 加到 \frac{1}{5}。

$$a=-\frac{4}{5}$$

現已成功解出系統。

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

讓 3a 和 2a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

化簡。

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6a+2b=-6 減去 6a-3b=-3。

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

將 6a 加到 -6a。 6a 和 -6a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2b+3b=-6+3$$

將 2b 加到 3b。

$$5b=-6+3$$

將 -6 加到 3。

$$5b=-3$$

將兩邊同時除以 5。

$$b=-\frac{3}{5}$$

在 2a-b=-1 中以 -\frac{3}{5} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{5}。

$$2a=-\frac{8}{5}$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=-\frac{4}{5}$$

現已成功解出系統。

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$