解決{l}{3a+5u=17}{2a+u=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

解 a、u

$$a=4$$

$$u=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$3a+5u=17$$

從方程式兩邊減去 5u。

$$3a=-5u+17$$

將兩邊同時除以 3。

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5u+17。

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

在另一個方程式 2a+u=9 中以 \frac{-5u+17}{3} 代入 a在方程式。

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

2 乘上 \frac{-5u+17}{3}。

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

將 -\frac{10u}{3} 加到 u。

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{34}{3}。

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$u=1$$

在 a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3} 中以 1 代入 u。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

將 \frac{17}{3} 與 -\frac{5}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=4$$

現已成功解出系統。

$$a=4,u=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 u。

$$a=4,u=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

讓 3a 和 2a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

化簡。

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6a+10u=34 減去 6a+3u=27。

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

將 6a 加到 -6a。 6a 和 -6a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10u-3u=34-27$$

將 10u 加到 -3u。

$$7u=34-27$$

將 34 加到 -27。

$$7u=7$$

將兩邊同時除以 7。

$$u=1$$

在 2a+u=9 中以 1 代入 u。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$2a+1=9$$

從方程式兩邊減去 1。

$$2a=8$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=4$$

現已成功解出系統。

$$a=4,u=1$$