解決{l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180} |Microsoft數學求解器

解 A、c

測驗

Simultaneous Equation

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3A-13c=-255,31A-6c=-180

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

3A-13c=-255

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 A: 將 A 單獨置於等號的左邊。

3A=13c-255

將 13c 加到方程式的兩邊。

A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)

將兩邊同時除以 3。

A=\frac{13}{3}c-85

\frac{1}{3} 乘上 13c-255。

31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180

在另一個方程式 31A-6c=-180 中以 \frac{13c}{3}-85 代入 A在方程式。

\frac{403}{3}c-2635-6c=-180

31 乘上 \frac{13c}{3}-85。

\frac{385}{3}c-2635=-180

將 \frac{403c}{3} 加到 -6c。

\frac{385}{3}c=2455

將 2635 加到方程式的兩邊。

c=\frac{1473}{77}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{385}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85

在 A=\frac{13}{3}c-85 中以 \frac{1473}{77} 代入 c。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 A。

A=\frac{6383}{77}-85

\frac{13}{3} 乘上 \frac{1473}{77} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

A=-\frac{162}{77}

將 -85 加到 \frac{6383}{77}。

A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}

現已成功解出系統。

3A-13c=-255,31A-6c=-180

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)

計算。

A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}

解出矩陣元素 A 和 c。

3A-13c=-255,31A-6c=-180

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)

讓 3A 和 31A 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 31，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

93A-403c=-7905,93A-18c=-540

化簡。

93A-93A-403c+18c=-7905+540