解 x, y
x=\frac{1}{4}=0.25
y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333
圖表
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\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8}
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{3}{2}x=-6y+\frac{19}{8}
從方程式兩邊減去 6y。
x=\frac{2}{3}\left(-6y+\frac{19}{8}\right)
對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-4y+\frac{19}{12}
\frac{2}{3} 乘上 -6y+\frac{19}{8}。
\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{19}{12}\right)-9y=-\frac{23}{8}
在另一個方程式 \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8} 中以 -4y+\frac{19}{12} 代入 x在方程式。
-2y+\frac{19}{24}-9y=-\frac{23}{8}
\frac{1}{2} 乘上 -4y+\frac{19}{12}。
-11y+\frac{19}{24}=-\frac{23}{8}
將 -2y 加到 -9y。
-11y=-\frac{11}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{19}{24}。
y=\frac{1}{3}
將兩邊同時除以 -11。
x=-4\times \frac{1}{3}+\frac{19}{12}
在 x=-4y+\frac{19}{12} 中以 \frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-\frac{4}{3}+\frac{19}{12}
-4 乘上 \frac{1}{3}。
x=\frac{1}{4}
將 \frac{19}{12} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}
現已成功解出系統。
\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&-\frac{6}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{33}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\times \frac{19}{8}+\frac{4}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\\\frac{1}{33}\times \frac{19}{8}-\frac{1}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\times 6y=\frac{1}{2}\times \frac{19}{8},\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\left(-9\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{23}{8}\right)
讓 \frac{3x}{2} 和 \frac{x}{2} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{2}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{3}{2}。
\frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16},\frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}
化簡。
\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16} 減去 \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}。
3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}
將 \frac{3x}{4} 加到 -\frac{3x}{4}。 \frac{3x}{4} 和 -\frac{3x}{4} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{33}{2}y=\frac{19+69}{16}
將 3y 加到 \frac{27y}{2}。
\frac{33}{2}y=\frac{11}{2}
將 \frac{19}{16} 與 \frac{69}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=\frac{1}{3}
對方程式的兩邊同時除以 \frac{33}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{1}{2}x-9\times \frac{1}{3}=-\frac{23}{8}
在 \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8} 中以 \frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{2}x-3=-\frac{23}{8}
-9 乘上 \frac{1}{3}。
\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}
將 3 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{4}
將兩邊同時乘上 2。
x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}