解決{l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

解 c、T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 c: 將 c 單獨置於等號的左邊。

$$25c+22T=152000$$

從方程式兩邊減去 22T。

$$25c=-22T+152000$$

將兩邊同時除以 25。

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

\frac{1}{25} 乘上 -22T+152000。

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

在另一個方程式 11c+12T=75000 中以 -\frac{22T}{25}+6080 代入 c在方程式。

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

11 乘上 -\frac{22T}{25}+6080。

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

將 -\frac{242T}{25} 加到 12T。

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

從方程式兩邊減去 66880。

$$\frac{58}{25}T=8120$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{58}{25}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$T=3500$$

在 c=-\frac{22}{25}T+6080 中以 3500 代入 T。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 c。

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

-\frac{22}{25} 乘上 3500。

$$c=-3080+6080$$

將 6080 加到 -3080。

$$c=3000$$

現已成功解出系統。

$$c=3000,T=3500$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 c 和 T。

$$c=3000,T=3500$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

讓 25c 和 11c 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 11，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 25。

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

化簡。

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 275c+242T=1672000 減去 275c+300T=1875000。

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

將 275c 加到 -275c。 275c 和 -275c 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$242T-300T=1672000-1875000$$

將 242T 加到 -300T。

$$-58T=1672000-1875000$$

將 1672000 加到 -1875000。

$$-58T=-203000$$

將兩邊同時除以 -58。

$$T=3500$$

在 11c+12T=75000 中以 3500 代入 T。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 c。

$$11c+12\times 3500=75000$$

12 乘上 3500。

$$11c+42000=75000$$

從方程式兩邊減去 42000。

$$11c=33000$$

將兩邊同時除以 11。

$$c=3000$$

現已成功解出系統。

$$c=3000,T=3500$$