解決{l}{22x+y=50}{27x-y=96} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$22x+y=50,27x-y=96$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$22x+y=50$$

從方程式兩邊減去 y。

$$22x=-y+50$$

將兩邊同時除以 22。

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

\frac{1}{22} 乘上 -y+50。

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

在另一個方程式 27x-y=96 中以 -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} 代入 x在方程式。

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

27 乘上 -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}。

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

將 -\frac{27y}{22} 加到 -y。

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

從方程式兩邊減去 \frac{675}{11}。

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{49}{22}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{762}{49}$$

在 x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11} 中以 -\frac{762}{49} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

-\frac{1}{22} 乘上 -\frac{762}{49} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

將 \frac{25}{11} 與 \frac{381}{539} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{146}{49}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$22x+y=50,27x-y=96$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$22x+y=50,27x-y=96$$

讓 22x 和 27x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 27，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 22。

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

化簡。

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 594x+27y=1350 減去 594x-22y=2112。

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

將 594x 加到 -594x。 594x 和 -594x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$27y+22y=1350-2112$$

將 27y 加到 22y。

$$49y=1350-2112$$

將 1350 加到 -2112。

$$49y=-762$$

將兩邊同時除以 49。

$$y=-\frac{762}{49}$$

在 27x-y=96 中以 -\frac{762}{49} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

從方程式兩邊減去 \frac{762}{49}。

$$27x=\frac{3942}{49}$$

將兩邊同時除以 27。

$$x=\frac{146}{49}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$