解決{l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2.5x+2.5y=17$$

從方程式兩邊減去 \frac{5y}{2}。

$$2.5x=-2.5y+17$$

對方程式的兩邊同時除以 2.5，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

0.4 乘上 -\frac{5y}{2}+17。

$$x=-y+6.8$$

在另一個方程式 -1.5x-7.5y=-33 中以 -y+6.8 代入 x在方程式。

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

-1.5 乘上 -y+6.8。

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

將 \frac{3y}{2} 加到 -\frac{15y}{2}。

$$-6y-10.2=-33$$

將 10.2 加到方程式的兩邊。

$$-6y=-22.8$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=3.8$$

在 x=-y+6.8 中以 3.8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3.8+6.8$$

-1 乘上 3.8。

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

將 6.8 與 -3.8 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=3.8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

讓 \frac{5x}{2} 和 -\frac{3x}{2} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1.5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2.5。

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

化簡。

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3.75x-3.75y=-25.5 減去 -3.75x-18.75y=-82.5。

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

將 -\frac{15x}{4} 加到 \frac{15x}{4}。 -\frac{15x}{4} 和 \frac{15x}{4} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

將 -\frac{15y}{4} 加到 \frac{75y}{4}。

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

將 -25.5 與 82.5 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$15y=57$$

將兩邊同時除以 15。

$$y=\frac{19}{5}$$

在 -1.5x-7.5y=-33 中以 \frac{19}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

-7.5 乘上 \frac{19}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

將 \frac{57}{2} 加到方程式的兩邊。

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -1.5，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$