解 y、x
x=10
y=-10
圖表
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2y-2x=-40,2y+3x=10
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2y-2x=-40
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。
2y=2x-40
將 2x 加到方程式的兩邊。
y=\frac{1}{2}\left(2x-40\right)
將兩邊同時除以 2。
y=x-20
\frac{1}{2} 乘上 -40+2x。
2\left(x-20\right)+3x=10
在另一個方程式 2y+3x=10 中以 x-20 代入 y在方程式。
2x-40+3x=10
2 乘上 x-20。
5x-40=10
將 2x 加到 3x。
5x=50
將 40 加到方程式的兩邊。
x=10
將兩邊同時除以 5。
y=10-20
在 y=x-20 中以 10 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=-10
將 -20 加到 10。
y=-10,x=10
現已成功解出系統。
2y-2x=-40,2y+3x=10
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)
計算。
y=-10,x=10
解出矩陣元素 y 和 x。
2y-2x=-40,2y+3x=10
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2y-2y-2x-3x=-40-10
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2y-2x=-40 減去 2y+3x=10。
-2x-3x=-40-10
將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-5x=-40-10
將 -2x 加到 -3x。
-5x=-50
將 -40 加到 -10。
x=10
將兩邊同時除以 -5。
2y+3\times 10=10
在 2y+3x=10 中以 10 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
2y+30=10
3 乘上 10。
2y=-20
從方程式兩邊減去 30。
y=-10
將兩邊同時除以 2。
y=-10,x=10
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}