解決{l}{2y=3x-4}{2y=x+1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 4 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$2y-3x=-4$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$2y-x=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$2y-3x=-4$$

將 3x 加到方程式的兩邊。

$$2y=3x-4$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-4\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 3x-4。

$$y=\frac{3}{2}x-2$$

在另一個方程式 2y-x=1 中以 \frac{3x}{2}-2 代入 y在方程式。

$$2\left(\frac{3}{2}x-2\right)-x=1$$

2 乘上 \frac{3x}{2}-2。

$$3x-4-x=1$$

將 3x 加到 -x。

$$2x-4=1$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$2x=5$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{5}{2}$$

在 y=\frac{3}{2}x-2 中以 \frac{5}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}-2$$

\frac{3}{2} 乘上 \frac{5}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{15}{4}-2$$

將 -2 加到 \frac{15}{4}。

$$y=\frac{7}{4}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$2y-3x=-4$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$2y-x=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$2y-3x=-4$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$2y-x=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2y-3x=-4 減去 2y-x=1。

$$2y-2y-3x+x=-4-1$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3x+x=-4-1$$

將 -3x 加到 x。

$$-2x=-4-1$$

將 -4 加到 -1。

$$-2x=-5$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{5}{2}$$

在 2y-x=1 中以 \frac{5}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y-\frac{5}{2}=1$$

將 \frac{5}{2} 加到方程式的兩邊。

$$2y=\frac{7}{2}$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{7}{4}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$