解決{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

解 x_1、x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x_{1}: 將 x_{1} 單獨置於等號的左邊。

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

從方程式兩邊減去 3x_{2}。

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

將兩邊同時除以 2。

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3x_{2}+7。

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

在另一個方程式 4x_{1}-4x_{2}=-6 中以 \frac{-3x_{2}+7}{2} 代入 x_{1}在方程式。

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

4 乘上 \frac{-3x_{2}+7}{2}。

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

將 -6x_{2} 加到 -4x_{2}。

$$-10x_{2}+14=-6$$

從方程式兩邊減去 14。

$$-10x_{2}=-20$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x_{2}=2$$

在 x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} 中以 2 代入 x_{2}。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x_{1}。

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2} 乘上 2。

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

將 \frac{7}{2} 加到 -3。

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x_{1} 和 x_{2}。

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

讓 2x_{1} 和 4x_{1} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

化簡。

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x_{1}+12x_{2}=28 減去 8x_{1}-8x_{2}=-12。

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

將 8x_{1} 加到 -8x_{1}。 8x_{1} 和 -8x_{1} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

將 12x_{2} 加到 8x_{2}。

$$20x_{2}=28+12$$

將 28 加到 12。

$$20x_{2}=40$$

將兩邊同時除以 20。

$$x_{2}=2$$

在 4x_{1}-4x_{2}=-6 中以 2 代入 x_{2}。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x_{1}。

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

-4 乘上 2。

$$4x_{1}-8=-6$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$4x_{1}=2$$

將兩邊同時除以 4。

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$