解決{l}{2x-y=6}{3x-2y=4} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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2x-y=6,3x-2y=4

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2x-y=6

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

2x=y+6

將 y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)

將兩邊同時除以 2。

x=\frac{1}{2}y+3

\frac{1}{2} 乘上 y+6。

3\left(\frac{1}{2}y+3\right)-2y=4

在另一個方程式 3x-2y=4 中以 \frac{y}{2}+3 代入 x在方程式。

\frac{3}{2}y+9-2y=4

3 乘上 \frac{y}{2}+3。

-\frac{1}{2}y+9=4

將 \frac{3y}{2} 加到 -2y。

-\frac{1}{2}y=-5

從方程式兩邊減去 9。

y=10

將兩邊同時乘上 -2。

x=\frac{1}{2}\times 10+3

在 x=\frac{1}{2}y+3 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=5+3

\frac{1}{2} 乘上 10。

x=8

將 3 加到 5。

x=8,y=10

現已成功解出系統。

2x-y=6,3x-2y=4

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 6-4\\3\times 6-2\times 4\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)

計算。

x=8,y=10

解出矩陣元素 x 和 y。

2x-y=6,3x-2y=4

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 6,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。