解決{l}{2x-y=13}{-4x-6y=-18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 4 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=13$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y+13$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y+13。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

在另一個方程式 -4x-6y=-18 中以 \frac{13+y}{2} 代入 x在方程式。

$$-4\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-6y=-18$$

-4 乘上 \frac{13+y}{2}。

$$-2y-26-6y=-18$$

將 -2y 加到 -6y。

$$-8y-26=-18$$

將 26 加到方程式的兩邊。

$$-8y=8$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=-1$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{13}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 -1。

$$x=\frac{-1+13}{2}$$

將 \frac{13}{2} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{16}\left(-18\right)\\-\frac{1}{4}\times 13-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

讓 2x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-4\times 2x-4\left(-1\right)y=-4\times 13,2\left(-4\right)x+2\left(-6\right)y=2\left(-18\right)$$

化簡。

$$-8x+4y=-52,-8x-12y=-36$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x+4y=-52 減去 -8x-12y=-36。

$$-8x+8x+4y+12y=-52+36$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+12y=-52+36$$

將 4y 加到 12y。

$$16y=-52+36$$

將 -52 加到 36。

$$16y=-16$$

將兩邊同時除以 16。

$$y=-1$$

在 -4x-6y=-18 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x-6\left(-1\right)=-18$$

-6 乘上 -1。

$$-4x+6=-18$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-4x=-24$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-1$$