解決{l}{2x-y=1}{x+y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=1,x+y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=1$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y+1。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 x+y=4 中以 \frac{1+y}{2} 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

將 \frac{y}{2} 加到 y。

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{7}{3}$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} 中以 \frac{7}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 \frac{7}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{7}{6}+\frac{1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{7}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{5}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=1,x+y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=1,x+y=4$$

讓 2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2x-y=1,2x+2y=2\times 4$$

化簡。

$$2x-y=1,2x+2y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-y=1 減去 2x+2y=8。

$$2x-2x-y-2y=1-8$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-2y=1-8$$

將 -y 加到 -2y。

$$-3y=1-8$$

將 1 加到 -8。

$$-3y=-7$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=\frac{7}{3}$$

在 x+y=4 中以 \frac{7}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+\frac{7}{3}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{3}。

$$x=\frac{5}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$