解決{l}{2x-y=-2}{y=5x-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=-1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=-2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y-2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y-2。

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

在另一個方程式 -5x+y=-1 中以 \frac{y}{2}-1 代入 x在方程式。

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

-5 乘上 \frac{y}{2}-1。

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

將 -\frac{5y}{2} 加到 y。

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=4$$

在 x=\frac{1}{2}y-1 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

\frac{1}{2} 乘上 4。

$$x=2-1$$

將 -1 加到 2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=-1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=4$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=-1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

讓 2x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

化簡。

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10x+5y=10 減去 -10x+2y=-2。

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

將 -10x 加到 10x。 -10x 和 10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y-2y=10+2$$

將 5y 加到 -2y。

$$3y=10+2$$

將 10 加到 2。

$$3y=12$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=4$$

在 -5x+y=-1 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+4=-1$$

從方程式兩邊減去 4。

$$-5x=-5$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$