解決{l}{2x-6y=16}{-x+2y=-4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 16 } \\ { - x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-4$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-6y=16$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$2x=6y+16$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+16\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 6y+16。

$$x=3y+8$$

在另一個方程式 -x+2y=-4 中以 3y+8 代入 x在方程式。

$$-\left(3y+8\right)+2y=-4$$

-1 乘上 3y+8。

$$-3y-8+2y=-4$$

將 -3y 加到 2y。

$$-y-8=-4$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$-y=4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-4$$

在 x=3y+8 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\left(-4\right)+8$$

3 乘上 -4。

$$x=-12+8$$

將 8 加到 -12。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&-\frac{-6}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16-3\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\times 16-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2x-\left(-6y\right)=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

化簡。

$$-2x+6y=-16,-2x+4y=-8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+6y=-16 減去 -2x+4y=-8。

$$-2x+2x+6y-4y=-16+8$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-4y=-16+8$$

將 6y 加到 -4y。

$$2y=-16+8$$

將 -16 加到 8。

$$2y=-8$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-4$$

在 -x+2y=-4 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+2\left(-4\right)=-4$$

2 乘上 -4。

$$-x-8=-4$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$-x=4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-4$$