解決{l}{2x-5y=10}{4x+y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{35}{22} = 1\frac{13}{22} \approx 1.590909091$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-5y=10$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$2x=5y+10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 10+5y。

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

在另一個方程式 4x+y=5 中以 5+\frac{5y}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=5$$

4 乘上 5+\frac{5y}{2}。

$$10y+20+y=5$$

將 10y 加到 y。

$$11y+20=5$$

從方程式兩邊減去 20。

$$11y=-15$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=-\frac{15}{11}$$

在 x=\frac{5}{2}y+5 中以 -\frac{15}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{15}{11}\right)+5$$

\frac{5}{2} 乘上 -\frac{15}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{75}{22}+5$$

將 5 加到 -\frac{75}{22}。

$$x=\frac{35}{22}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 5$$

化簡。

$$8x-20y=40,8x+2y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x-20y=40 減去 8x+2y=10。

$$8x-8x-20y-2y=40-10$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-20y-2y=40-10$$

將 -20y 加到 -2y。

$$-22y=40-10$$

將 40 加到 -10。

$$-22y=30$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=-\frac{15}{11}$$

在 4x+y=5 中以 -\frac{15}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-\frac{15}{11}=5$$

將 \frac{15}{11} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{70}{11}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{35}{22}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$