解 x、y
x=-3
y=3
圖表
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2x-5y=-21,3x+2y=-3
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x-5y=-21
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=5y-21
將 5y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{2}\left(5y-21\right)
將兩邊同時除以 2。
x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}
\frac{1}{2} 乘上 5y-21。
3\left(\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}\right)+2y=-3
在另一個方程式 3x+2y=-3 中以 \frac{5y-21}{2} 代入 x在方程式。
\frac{15}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-3
3 乘上 \frac{5y-21}{2}。
\frac{19}{2}y-\frac{63}{2}=-3
將 \frac{15y}{2} 加到 2y。
\frac{19}{2}y=\frac{57}{2}
將 \frac{63}{2} 加到方程式的兩邊。
y=3
對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{5}{2}\times 3-\frac{21}{2}
在 x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{15-21}{2}
\frac{5}{2} 乘上 3。
x=-3
將 -\frac{21}{2} 與 \frac{15}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-3,y=3
現已成功解出系統。
2x-5y=-21,3x+2y=-3
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-21\right)+\frac{5}{19}\left(-3\right)\\-\frac{3}{19}\left(-21\right)+\frac{2}{19}\left(-3\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)
計算。
x=-3,y=3
解出矩陣元素 x 和 y。
2x-5y=-21,3x+2y=-3
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-21\right),2\times 3x+2\times 2y=2\left(-3\right)
讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
6x-15y=-63,6x+4y=-6
化簡。
6x-6x-15y-4y=-63+6
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-15y=-63 減去 6x+4y=-6。
-15y-4y=-63+6
將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-19y=-63+6
將 -15y 加到 -4y。
-19y=-57
將 -63 加到 6。
y=3
將兩邊同時除以 -19。
3x+2\times 3=-3
在 3x+2y=-3 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x+6=-3
2 乘上 3。
3x=-9
從方程式兩邊減去 6。
x=-3
將兩邊同時除以 3。
x=-3,y=3
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}