解決{l}{2x-4y=10}{6x-4y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-4y=10$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$2x=4y+10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 4y+10。

$$x=2y+5$$

在另一個方程式 6x-4y=11 中以 2y+5 代入 x在方程式。

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

6 乘上 2y+5。

$$12y+30-4y=11$$

將 12y 加到 -4y。

$$8y+30=11$$

從方程式兩邊減去 30。

$$8y=-19$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=-\frac{19}{8}$$

在 x=2y+5 中以 -\frac{19}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

2 乘上 -\frac{19}{8}。

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

將 5 加到 -\frac{19}{4}。

$$x=\frac{1}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-4y=10 減去 6x-4y=11。

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

將 -4y 加到 4y。 -4y 和 4y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x-6x=10-11$$

將 2x 加到 -6x。

$$-4x=10-11$$

將 10 加到 -11。

$$-4x=-1$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=\frac{1}{4}$$

在 6x-4y=11 中以 \frac{1}{4} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

6 乘上 \frac{1}{4}。

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$-4y=\frac{19}{2}$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=-\frac{19}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$