解決{l}{2x-4y=-2}{3x+2y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = - 2 } \\ { 3 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-4y=-2$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$2x=4y-2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(4y-2\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 4y-2。

$$x=2y-1$$

在另一個方程式 3x+2y=3 中以 2y-1 代入 x在方程式。

$$3\left(2y-1\right)+2y=3$$

3 乘上 2y-1。

$$6y-3+2y=3$$

將 6y 加到 2y。

$$8y-3=3$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$8y=6$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=\frac{3}{4}$$

在 x=2y-1 中以 \frac{3}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\times \frac{3}{4}-1$$

2 乘上 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{3}{2}-1$$

將 -1 加到 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{16}\left(-2\right)+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2x+3\left(-4\right)y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 2y=2\times 3$$

化簡。

$$6x-12y=-6,6x+4y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-12y=-6 減去 6x+4y=6。

$$6x-6x-12y-4y=-6-6$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y-4y=-6-6$$

將 -12y 加到 -4y。

$$-16y=-6-6$$

將 -6 加到 -6。

$$-16y=-12$$

將兩邊同時除以 -16。

$$y=\frac{3}{4}$$

在 3x+2y=3 中以 \frac{3}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times \frac{3}{4}=3$$

2 乘上 \frac{3}{4}。

$$3x+\frac{3}{2}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$3x=\frac{3}{2}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$