解決{l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x} |Microsoft數學求解器

解 x、y

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2x-3y=10

考慮第一個方程式。新增 10 至兩側。任何項目加上零的結果都會是自己本身。

2y+3x=-17

考慮第二個方程式。新增 3x 至兩側。

2x-3y=10,3x+2y=-17

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2x-3y=10

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

2x=3y+10

將 3y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)

將兩邊同時除以 2。

x=\frac{3}{2}y+5

\frac{1}{2} 乘上 3y+10。

3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17

在另一個方程式 3x+2y=-17 中以 \frac{3y}{2}+5 代入 x在方程式。

\frac{9}{2}y+15+2y=-17

3 乘上 \frac{3y}{2}+5。

\frac{13}{2}y+15=-17

將 \frac{9y}{2} 加到 2y。

\frac{13}{2}y=-32

從方程式兩邊減去 15。

y=-\frac{64}{13}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5

在 x=\frac{3}{2}y+5 中以 -\frac{64}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-\frac{96}{13}+5

\frac{3}{2} 乘上 -\frac{64}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=-\frac{31}{13}

將 5 加到 -\frac{96}{13}。

x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}

現已成功解出系統。

2x-3y=10

考慮第一個方程式。新增 10 至兩側。任何項目加上零的結果都會是自己本身。

2y+3x=-17

考慮第二個方程式。新增 3x 至兩側。

2x-3y=10,3x+2y=-17

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)

計算。

x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}

解出矩陣元素 x 和 y。

2x-3y=10

考慮第一個方程式。新增 10 至兩側。任何項目加上零的結果都會是自己本身。

2y+3x=-17

考慮第二個方程式。新增 3x 至兩側。

2x-3y=10,3x+2y=-17

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)