解決{l}{2x-3y=0}{-x+15y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - x + 15 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-3y=0$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$2x=3y$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\times 3y$$

\frac{1}{2} 乘上 3y。

$$x=\frac{3}{2}y$$

在另一個方程式 -x+15y=3 中以 \frac{3y}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{2}y+15y=3$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 15y。

$$\frac{27}{2}y=3$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{27}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{2}{9}$$

在 x=\frac{3}{2}y 中以 \frac{2}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2}{9}$$

\frac{3}{2} 乘上 \frac{2}{9} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 3\\\frac{2}{27}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 3$$

化簡。

$$-2x+3y=0,-2x+30y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+3y=0 減去 -2x+30y=6。

$$-2x+2x+3y-30y=-6$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-30y=-6$$

將 3y 加到 -30y。

$$-27y=-6$$

將兩邊同時除以 -27。

$$y=\frac{2}{9}$$

在 -x+15y=3 中以 \frac{2}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+15\times \frac{2}{9}=3$$

15 乘上 \frac{2}{9}。

$$-x+\frac{10}{3}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{10}{3}。

$$-x=-\frac{1}{3}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$