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解 x, y
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2x-3y=0,-x+15y=2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x-3y=0
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=3y
將 3y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{2}\times 3y
將兩邊同時除以 2。
x=\frac{3}{2}y
\frac{1}{2} 乘上 3y。
-\frac{3}{2}y+15y=2
在另一個方程式 -x+15y=2 中以 \frac{3y}{2} 代入 x在方程式。
\frac{27}{2}y=2
將 -\frac{3y}{2} 加到 15y。
y=\frac{4}{27}
對方程式的兩邊同時除以 \frac{27}{2},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{3}{2}\times \frac{4}{27}
在 x=\frac{3}{2}y 中以 \frac{4}{27} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=\frac{2}{9}
\frac{3}{2} 乘上 \frac{4}{27} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}
現已成功解出系統。
2x-3y=0,-x+15y=2
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\\\frac{4}{27}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}
解出矩陣元素 x 和 y。
2x-3y=0,-x+15y=2
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 2
讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
-2x+3y=0,-2x+30y=4
化簡。
-2x+2x+3y-30y=-4
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 -2x+3y=0 減去 -2x+30y=4。
3y-30y=-4
將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-27y=-4
將 3y 加到 -30y。
y=\frac{4}{27}
將兩邊同時除以 -27。
-x+15\times \frac{4}{27}=2
在 -x+15y=2 中以 \frac{4}{27} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
-x+\frac{20}{9}=2
15 乘上 \frac{4}{27}。
-x=-\frac{2}{9}
從方程式兩邊減去 \frac{20}{9}。
x=\frac{2}{9}
將兩邊同時除以 -1。
x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}
現已成功解出系統。