解決{l}{2x-2y=12}{5x-2y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 12 } \\ { 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=-7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-2y=12$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$2x=2y+12$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+12\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 12+2y。

$$x=y+6$$

在另一個方程式 5x-2y=9 中以 y+6 代入 x在方程式。

$$5\left(y+6\right)-2y=9$$

5 乘上 y+6。

$$5y+30-2y=9$$

將 5y 加到 -2y。

$$3y+30=9$$

從方程式兩邊減去 30。

$$3y=-21$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-7$$

在 x=y+6 中以 -7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-7+6$$

將 6 加到 -7。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=-7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-2y=12 減去 5x-2y=9。

$$2x-5x-2y+2y=12-9$$

將 -2y 加到 2y。 -2y 和 2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x-5x=12-9$$

將 2x 加到 -5x。

$$-3x=12-9$$

將 12 加到 -9。

$$-3x=3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-1$$

在 5x-2y=9 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$5\left(-1\right)-2y=9$$

5 乘上 -1。

$$-5-2y=9$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$-2y=14$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-7$$