解決{l}{2x-2y=1}{4y-1/2=x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 1 } \\ { \frac { 4 y - 1 } { 2 } = x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 將 4y-1 的每一項除以 2 以得到 2y-\frac{1}{2}。

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

從兩邊減去 x。

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

新增 \frac{1}{2} 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-2y=1$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$2x=2y+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 2y+1。

$$x=y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 -x+2y=\frac{1}{2} 中以 y+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。

$$-\left(y+\frac{1}{2}\right)+2y=\frac{1}{2}$$

-1 乘上 y+\frac{1}{2}。

$$-y-\frac{1}{2}+2y=\frac{1}{2}$$

將 -y 加到 2y。

$$y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$y=1$$

在 x=y+\frac{1}{2} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=1+\frac{1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到 1。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 將 4y-1 的每一項除以 2 以得到 2y-\frac{1}{2}。

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

從兩邊減去 x。

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

新增 \frac{1}{2} 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+\frac{1}{2}\\\frac{1+1}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 將 4y-1 的每一項除以 2 以得到 2y-\frac{1}{2}。

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

從兩邊減去 x。

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

新增 \frac{1}{2} 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2x-\left(-2y\right)=-1,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\times \frac{1}{2}$$

化簡。

$$-2x+2y=-1,-2x+4y=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+2y=-1 減去 -2x+4y=1。

$$-2x+2x+2y-4y=-1-1$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-4y=-1-1$$

將 2y 加到 -4y。

$$-2y=-1-1$$

將 -1 加到 -1。

$$-2y=-2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=1$$

在 -x+2y=\frac{1}{2} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+2=\frac{1}{2}$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-x=-\frac{3}{2}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=1$$