解決{l}{2x+y=7}{4x-y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { 4 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=7,4x-y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=7$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+7$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+7。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

在另一個方程式 4x-y=5 中以 \frac{-y+7}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-y=5$$

4 乘上 \frac{-y+7}{2}。

$$-2y+14-y=5$$

將 -2y 加到 -y。

$$-3y+14=5$$

從方程式兩邊減去 14。

$$-3y=-9$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=3$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 3。

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

將 \frac{7}{2} 與 -\frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=7,4x-y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{6}\times 5\\\frac{2}{3}\times 7-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=7,4x-y=5$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4y=4\times 7,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

化簡。

$$8x+4y=28,8x-2y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+4y=28 減去 8x-2y=10。

$$8x-8x+4y+2y=28-10$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+2y=28-10$$

將 4y 加到 2y。

$$6y=28-10$$

將 28 加到 -10。

$$6y=18$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=3$$

在 4x-y=5 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-3=5$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$4x=8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=3$$