解決{l}{2x+y=5}{6x+6y=24} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { 6 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+5$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+5。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 6x+6y=24 中以 \frac{-y+5}{2} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

6 乘上 \frac{-y+5}{2}。

$$-3y+15+6y=24$$

將 -3y 加到 6y。

$$3y+15=24$$

從方程式兩邊減去 15。

$$3y=9$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=3$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{5}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 3。

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

將 \frac{5}{2} 與 -\frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-6}&-\frac{1}{2\times 6-6}\\-\frac{6}{2\times 6-6}&\frac{2}{2\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-\frac{1}{6}\times 24\\-5+\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

讓 2x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$6\times 2x+6y=6\times 5,2\times 6x+2\times 6y=2\times 24$$

化簡。

$$12x+6y=30,12x+12y=48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+6y=30 減去 12x+12y=48。

$$12x-12x+6y-12y=30-48$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-12y=30-48$$

將 6y 加到 -12y。

$$-6y=30-48$$

將 30 加到 -48。

$$-6y=-18$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=3$$

在 6x+6y=24 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+6\times 3=24$$

6 乘上 3。

$$6x+18=24$$

從方程式兩邊減去 18。

$$6x=6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=3$$