解決{l}{2x+y=45}{3x+5y=70} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=45$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+45$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+45。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

在另一個方程式 3x+5y=70 中以 \frac{-y+45}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

3 乘上 \frac{-y+45}{2}。

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 5y。

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

從方程式兩邊減去 \frac{135}{2}。

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{5}{7}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} 中以 \frac{5}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{5}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

將 \frac{45}{2} 與 -\frac{5}{14} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{155}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

化簡。

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+3y=135 減去 6x+10y=140。

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-10y=135-140$$

將 3y 加到 -10y。

$$-7y=135-140$$

將 135 加到 -140。

$$-7y=-5$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=\frac{5}{7}$$

在 3x+5y=70 中以 \frac{5}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

5 乘上 \frac{5}{7}。

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

從方程式兩邊減去 \frac{25}{7}。

$$3x=\frac{465}{7}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{155}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$