解決{l}{2x+y=3}{3x-y=2} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

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2x+y=3,3x-y=2

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2x+y=3

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

2x=-y+3

從方程式兩邊減去 y。

x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)

將兩邊同時除以 2。

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}

\frac{1}{2} 乘上 -y+3。

3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-y=2

在另一個方程式 3x-y=2 中以 \frac{-y+3}{2} 代入 x在方程式。

-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-y=2

3 乘上 \frac{-y+3}{2}。

-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=2

將 -\frac{3y}{2} 加到 -y。

-\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

y=1

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=\frac{-1+3}{2}

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=1

將 \frac{3}{2} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=1,y=1

現已成功解出系統。

2x+y=3,3x-y=2

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{2}{5}\times 2\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)

計算。

x=1,y=1

解出矩陣元素 x 和 y。

2x+y=3,3x-y=2

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 2x+3y=3\times 3,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

6x+3y=9,6x-2y=4

化簡。

6x-6x+3y+2y=9-4