解決{l}{2x+y=18}{3x+2y=28} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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https://math.stackexchange.com/q/985309

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2x+y=18,3x+2y=28

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2x+y=18

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

2x=-y+18

從方程式兩邊減去 y。

x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)

將兩邊同時除以 2。

x=-\frac{1}{2}y+9

\frac{1}{2} 乘上 -y+18。

3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28

在另一個方程式 3x+2y=28 中以 -\frac{y}{2}+9 代入 x在方程式。

-\frac{3}{2}y+27+2y=28

3 乘上 -\frac{y}{2}+9。

\frac{1}{2}y+27=28

將 -\frac{3y}{2} 加到 2y。

\frac{1}{2}y=1

從方程式兩邊減去 27。

y=2

將兩邊同時乘上 2。

x=-\frac{1}{2}\times 2+9

在 x=-\frac{1}{2}y+9 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-1+9

-\frac{1}{2} 乘上 2。

x=8

將 9 加到 -1。

x=8,y=2

現已成功解出系統。

2x+y=18,3x+2y=28

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)

計算。

x=8,y=2

解出矩陣元素 x 和 y。

2x+y=18,3x+2y=28

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。