解決{l}{2x+y=-19}{x+4y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 19 } \\ { x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{87}{7} = -12\frac{3}{7} \approx -12.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=-19$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y-19$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-19\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y-19。

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}$$

在另一個方程式 x+4y=11 中以 \frac{-y-19}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}+4y=11$$

將 -\frac{y}{2} 加到 4y。

$$\frac{7}{2}y-\frac{19}{2}=11$$

將 \frac{19}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{7}{2}y=\frac{41}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{41}{7}$$

在 x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2} 中以 \frac{41}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{41}{7}-\frac{19}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{41}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{41}{14}-\frac{19}{2}$$

將 -\frac{19}{2} 與 -\frac{41}{14} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{87}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-1}&-\frac{1}{2\times 4-1}\\-\frac{1}{2\times 4-1}&\frac{2}{2\times 4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-19\right)-\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-19\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{87}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

讓 2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2x+y=-19,2x+2\times 4y=2\times 11$$

化簡。

$$2x+y=-19,2x+8y=22$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+y=-19 減去 2x+8y=22。

$$2x-2x+y-8y=-19-22$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-8y=-19-22$$

將 y 加到 -8y。

$$-7y=-19-22$$

將 -19 加到 -22。

$$-7y=-41$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=\frac{41}{7}$$

在 x+4y=11 中以 \frac{41}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+4\times \frac{41}{7}=11$$

4 乘上 \frac{41}{7}。

$$x+\frac{164}{7}=11$$

從方程式兩邊減去 \frac{164}{7}。

$$x=-\frac{87}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$