解決{l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-7$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=-16$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y-16$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y-16。

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

在另一個方程式 -4x+10y=8 中以 -\frac{y}{2}-8 代入 x在方程式。

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

-4 乘上 -\frac{y}{2}-8。

$$2y+32+10y=8$$

將 2y 加到 10y。

$$12y+32=8$$

從方程式兩邊減去 32。

$$12y=-24$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=-2$$

在 x=-\frac{1}{2}y-8 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

-\frac{1}{2} 乘上 -2。

$$x=1-8$$

將 -8 加到 1。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-7,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

讓 2x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

化簡。

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x-4y=64 減去 -8x+20y=16。

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-20y=64-16$$

將 -4y 加到 -20y。

$$-24y=64-16$$

將 64 加到 -16。

$$-24y=48$$

將兩邊同時除以 -24。

$$y=-2$$

在 -4x+10y=8 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

10 乘上 -2。

$$-4x-20=8$$

將 20 加到方程式的兩邊。

$$-4x=28$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=-2$$