解決{l}{2x+8y=64}{7x+y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+8y=64$$

從方程式兩邊減去 8y。

$$2x=-8y+64$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -8y+64。

$$x=-4y+32$$

在另一個方程式 7x+y=8 中以 -4y+32 代入 x在方程式。

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

7 乘上 -4y+32。

$$-28y+224+y=8$$

將 -28y 加到 y。

$$-27y+224=8$$

從方程式兩邊減去 224。

$$-27y=-216$$

將兩邊同時除以 -27。

$$y=8$$

在 x=-4y+32 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\times 8+32$$

-4 乘上 8。

$$x=-32+32$$

將 32 加到 -32。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

讓 2x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

化簡。

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14x+56y=448 減去 14x+2y=16。

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

將 14x 加到 -14x。 14x 和 -14x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$56y-2y=448-16$$

將 56y 加到 -2y。

$$54y=448-16$$

將 448 加到 -16。

$$54y=432$$

將兩邊同時除以 54。

$$y=8$$

在 7x+y=8 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+8=8$$

從方程式兩邊減去 8。

$$7x=0$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=8$$