Solve {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127} | Microsoft Math Solver

解 x, y

圖表

測驗

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2x+5y=259,199x-2y=1127

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2x+5y=259

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

2x=-5y+259

從方程式兩邊減去 5y。

x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)

將兩邊同時除以 2。

x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}

\frac{1}{2} 乘上 -5y+259。

199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127

在另一個方程式 199x-2y=1127 中以 \frac{-5y+259}{2} 代入 x在方程式。

-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127

199 乘上 \frac{-5y+259}{2}。

-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127

將 -\frac{995y}{2} 加到 -2y。

-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}

從方程式兩邊減去 \frac{51541}{2}。

y=\frac{16429}{333}

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{999}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}

在 x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} 中以 \frac{16429}{333} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}

-\frac{5}{2} 乘上 \frac{16429}{333} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=\frac{2051}{333}

將 \frac{259}{2} 與 -\frac{82145}{666} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}

現已成功解出系統。

2x+5y=259,199x-2y=1127

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}

解出矩陣元素 x 和 y。

2x+5y=259,199x-2y=1127

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127

讓 2x 和 199x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 199，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

398x+995y=51541,398x-4y=2254

化簡。

398x-398x+995y+4y=51541-2254