解 x、y
x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159
y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336
圖表
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2x+5y=259,199x-2y=1127
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+5y=259
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-5y+259
從方程式兩邊減去 5y。
x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}
\frac{1}{2} 乘上 -5y+259。
199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127
在另一個方程式 199x-2y=1127 中以 \frac{-5y+259}{2} 代入 x在方程式。
-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127
199 乘上 \frac{-5y+259}{2}。
-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127
將 -\frac{995y}{2} 加到 -2y。
-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{51541}{2}。
y=\frac{16429}{333}
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{999}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}
在 x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} 中以 \frac{16429}{333} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}
-\frac{5}{2} 乘上 \frac{16429}{333} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=\frac{2051}{333}
將 \frac{259}{2} 與 -\frac{82145}{666} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}
現已成功解出系統。
2x+5y=259,199x-2y=1127
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+5y=259,199x-2y=1127
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127
讓 2x 和 199x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 199，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
398x+995y=51541,398x-4y=2254
化簡。
398x-398x+995y+4y=51541-2254
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 398x+995y=51541 減去 398x-4y=2254。
995y+4y=51541-2254
將 398x 加到 -398x。 398x 和 -398x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
999y=51541-2254
將 995y 加到 4y。
999y=49287
將 51541 加到 -2254。
y=\frac{16429}{333}
將兩邊同時除以 999。
199x-2\times \frac{16429}{333}=1127
在 199x-2y=1127 中以 \frac{16429}{333} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
199x-\frac{32858}{333}=1127
-2 乘上 \frac{16429}{333}。
199x=\frac{408149}{333}
將 \frac{32858}{333} 加到方程式的兩邊。
x=\frac{2051}{333}
將兩邊同時除以 199。
x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}