解決{l}{2x+5y=17}{5x+y=31} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 5 x + y = 31 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+5y=17$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$2x=-5y+17$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -5y+17。

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

在另一個方程式 5x+y=31 中以 \frac{-5y+17}{2} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=31$$

5 乘上 \frac{-5y+17}{2}。

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+y=31$$

將 -\frac{25y}{2} 加到 y。

$$-\frac{23}{2}y+\frac{85}{2}=31$$

從方程式兩邊減去 \frac{85}{2}。

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{23}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

將 \frac{17}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times 5}&-\frac{5}{2-5\times 5}\\-\frac{5}{2-5\times 5}&\frac{2}{2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\times 17+\frac{5}{23}\times 31\\\frac{5}{23}\times 17-\frac{2}{23}\times 31\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

讓 2x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2y=2\times 31$$

化簡。

$$10x+25y=85,10x+2y=62$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+25y=85 減去 10x+2y=62。

$$10x-10x+25y-2y=85-62$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$25y-2y=85-62$$

將 25y 加到 -2y。

$$23y=85-62$$

將 85 加到 -62。

$$23y=23$$

將兩邊同時除以 23。

$$y=1$$

在 5x+y=31 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+1=31$$

從方程式兩邊減去 1。

$$5x=30$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=1$$