解決{l}{2x+4y=8}{3y-2x=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 8 } \\ { 3 y - 2 x = 6 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+4y=8$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$2x=-4y+8$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+8\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -4y+8。

$$x=-2y+4$$

在另一個方程式 -2x+3y=6 中以 -2y+4 代入 x在方程式。

$$-2\left(-2y+4\right)+3y=6$$

-2 乘上 -2y+4。

$$4y-8+3y=6$$

將 4y 加到 3y。

$$7y-8=6$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$7y=14$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=2$$

在 x=-2y+4 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times 2+4$$

-2 乘上 2。

$$x=-4+4$$

將 4 加到 -4。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{2\times 3-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-4\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 8-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 8+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

讓 2x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2\times 2x-2\times 4y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 6$$

化簡。

$$-4x-8y=-16,-4x+6y=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-8y=-16 減去 -4x+6y=12。

$$-4x+4x-8y-6y=-16-12$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y-6y=-16-12$$

將 -8y 加到 -6y。

$$-14y=-16-12$$

將 -16 加到 -12。

$$-14y=-28$$

將兩邊同時除以 -14。

$$y=2$$

在 -2x+3y=6 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+3\times 2=6$$

3 乘上 2。

$$-2x+6=6$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-2x=0$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=2$$