解決{l}{2x+4y=-4}{2x+y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+4y=-4$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$2x=-4y-4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -4y-4。

$$x=-2y-2$$

在另一個方程式 2x+y=8 中以 -2y-2 代入 x在方程式。

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

2 乘上 -2y-2。

$$-4y-4+y=8$$

將 -4y 加到 y。

$$-3y-4=8$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$-3y=12$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-4$$

在 x=-2y-2 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

-2 乘上 -4。

$$x=8-2$$

將 -2 加到 8。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+4y=-4 減去 2x+y=8。

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-y=-4-8$$

將 4y 加到 -y。

$$3y=-4-8$$

將 -4 加到 -8。

$$3y=-12$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-4$$

在 2x+y=8 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-4=8$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$2x=12$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-4$$