解決{l}{2x+3y=5}{7x=4y-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{14}{29}\approx 0.482758621$$

$$y = \frac{39}{29} = 1\frac{10}{29} \approx 1.344827586$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$7x-4y=-2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=5$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y+5$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y+5。

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 7x-4y=-2 中以 \frac{-3y+5}{2} 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-2$$

7 乘上 \frac{-3y+5}{2}。

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-2$$

將 -\frac{21y}{2} 加到 -4y。

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-2$$

從方程式兩邊減去 \frac{35}{2}。

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{39}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{39}{29}$$

在 x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} 中以 \frac{39}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{39}{29}+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{2} 乘上 \frac{39}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{117}{58}+\frac{5}{2}$$

將 \frac{5}{2} 與 -\frac{117}{58} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{14}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$7x-4y=-2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-2\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{29}\\\frac{39}{29}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$7x-4y=-2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

讓 2x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-2\right)$$

化簡。

$$14x+21y=35,14x-8y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14x+21y=35 減去 14x-8y=-4。

$$14x-14x+21y+8y=35+4$$

將 14x 加到 -14x。 14x 和 -14x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$21y+8y=35+4$$

將 21y 加到 8y。

$$29y=35+4$$

將 35 加到 4。

$$29y=39$$

將兩邊同時除以 29。

$$y=\frac{39}{29}$$

在 7x-4y=-2 中以 \frac{39}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-4\times \frac{39}{29}=-2$$

-4 乘上 \frac{39}{29}。

$$7x-\frac{156}{29}=-2$$

將 \frac{156}{29} 加到方程式的兩邊。

$$7x=\frac{98}{29}$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{14}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$