解 x, y
x=7
y=2
圖表
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2x+3y=20,7x+2y=53
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+3y=20
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-3y+20
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{3}{2}y+10
\frac{1}{2} 乘上 -3y+20。
7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53
在另一個方程式 7x+2y=53 中以 -\frac{3y}{2}+10 代入 x在方程式。
-\frac{21}{2}y+70+2y=53
7 乘上 -\frac{3y}{2}+10。
-\frac{17}{2}y+70=53
將 -\frac{21y}{2} 加到 2y。
-\frac{17}{2}y=-17
從方程式兩邊減去 70。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{17}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{2}\times 2+10
在 x=-\frac{3}{2}y+10 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-3+10
-\frac{3}{2} 乘上 2。
x=7
將 10 加到 -3。
x=7,y=2
現已成功解出系統。
2x+3y=20,7x+2y=53
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=7,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+3y=20,7x+2y=53
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53
讓 2x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
14x+21y=140,14x+4y=106
化簡。
14x-14x+21y-4y=140-106
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14x+21y=140 減去 14x+4y=106。
21y-4y=140-106
將 14x 加到 -14x。 14x 和 -14x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
17y=140-106
將 21y 加到 -4y。
17y=34
將 140 加到 -106。
y=2
將兩邊同時除以 17。
7x+2\times 2=53
在 7x+2y=53 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
7x+4=53
2 乘上 2。
7x=49
從方程式兩邊減去 4。
x=7
將兩邊同時除以 7。
x=7,y=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}