解決{l}{2x+3y=20}{7x+2y=53} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 20 } \\ { 7 x + 2 y = 53 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=20$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y+20$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y+20。

$$x=-\frac{3}{2}y+10$$

在另一個方程式 7x+2y=53 中以 -\frac{3y}{2}+10 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53$$

7 乘上 -\frac{3y}{2}+10。

$$-\frac{21}{2}y+70+2y=53$$

將 -\frac{21y}{2} 加到 2y。

$$-\frac{17}{2}y+70=53$$

從方程式兩邊減去 70。

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{17}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{3}{2}y+10 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+10$$

-\frac{3}{2} 乘上 2。

$$x=-3+10$$

將 10 加到 -3。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

讓 2x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53$$

化簡。

$$14x+21y=140,14x+4y=106$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14x+21y=140 減去 14x+4y=106。

$$14x-14x+21y-4y=140-106$$

將 14x 加到 -14x。 14x 和 -14x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$21y-4y=140-106$$

將 21y 加到 -4y。

$$17y=140-106$$

將 140 加到 -106。

$$17y=34$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=2$$

在 7x+2y=53 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+2\times 2=53$$

2 乘上 2。

$$7x+4=53$$

從方程式兩邊減去 4。

$$7x=49$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=2$$